7.4. Преобразования Лоренца Классические
преобразования Галилея несовместимы с постулатами СТО и,
следовательно, должны быть заменены другими преобразованиями. Эти новые
преобразования должны установить связь между координатами
(x, y, z) и моментом времени t
события, наблюдаемого в системе отсчета K, и координатами
(x', y', z') и моментом времени t'
этого же события, наблюдаемого в системе отсчета K'.
Кинематические формулы преобразования координат и времени в СТО
называются преобразованиями Лоренца. Они были предложены в
1904 году еще до появления СТО как преобразования, относительно
которых инвариантны уравнения электродинамики. Для случая, когда система
K' движется относительно K со скоростью
υ вдоль оси x, преобразования Лоренца имеют вид:
K' → K K → K'
β = υ / c.
| |
Из преобразований Лоренца вытекает целый ряд следствий. В
частности, из них следует релятивистский эффект замедления времени и
лоренцево сокращение длины. Пусть, например, в некоторой точке
x' системы K' происходит процесс длительностью
τ0 = t'2 – t'1
(собственное время), где t'1 и
t'2 – показания часов в K' в начале и
конце процесса. Длительность τ этого процесса в системе
K будет равна
Аналогичным образом, можно показать, что из преобразований Лоренца
вытекает релятивистское сокращение длины. Одним из важнейших следствий из
преобразований Лоренца является вывод об относительности
одновременности. Пусть, например, в двух разных точках системы отсчета
K' (x'1 ≠ x'2)
одновременно с точки зрения наблюдателя в K'
(t'1 = t'2 = t')
происходят два события. Согласно преобразованиям Лоренца, наблюдатель в
системе K будет иметь
Следовательно, в системе K эти события, оставаясь
пространственно разобщенными, оказываются неодновременными.
Более того, знак разности
t2 – t1 определяется знаком
выражения υ(x'2 – x'1),
поэтому в одних системах отсчета первое событие может предшествовать
второму, в то время как в других системах отсчета, наоборот, второе
событие предшествует первому. Этот вывод СТО не относится к
событиям, связанным причинно-следственными связями, когда одно из
событий является физическим следствием другого. Можно показать, что в СТО
не нарушается принцип причинности, и порядок следования
причинно-следственных событий одинаков во всех инерциальных системах
отсчета.
Относительность одновременности пространственно-разобщенных событий
можно проиллюстрировать на следующем примере.
Пусть в системе отсчета K' вдоль оси x'
неподвижно расположен длинный жесткий стержень. В центре стержня находится
импульсная лампа B, а на его концах установлены двое
синхронизованных часов (рис. 7.4.1(a)), система
K' движется вдоль оси x системы K
со скоростью υ. В некоторый момент времени лампа посылает
короткие световые импульсы в направлении концов стержня. В силу
равноправия обоих направлений свет в системе K' дойдет до
концов стержня одновременно, и часы, закрепленные на концах стержня,
покажут одно и то же время t'. Относительно системы
K концы стержня движутся со скоростью υ так, что
один конец движется навстречу световому импульсу, а другой конец свету
приходится догонять. Так как скорости распространения световых импульсов в
обоих направлениях одинаковы и равны c, то, с точки зрения
наблюдателя в системе K, свет раньше дойдет до левого конца
стержня, чем до правого (рис. 7.4.1(b)).
1 |
| Рисунок 7.4.1.
Относительность одновременности.
Световой импульс достигает концов твердого стержня одновременно в
системе отсчета K' (a) и не одновременно в системе
отсчета K (b). | Преобразования
Лоренца выражают относительный характер промежутков времени и расстояний.
Однако, в СТО наряду с утверждением относительного характера пространства
и времени важную роль играет установление инвариантных физических величин,
которые не изменяются при переходе от одной системе отсчета к другой.
Одной из таких величин является скорость света c в вакууме,
которая в СТО приобретает абсолютный характер. Другой важной инвариантной
величиной, отражающей абсолютный характер пространственно-временных
связей, является интервал между событиями.
Пространственно-временной интервал определяется в СТО
следующим соотношением:
где
t12 – промежуток времени между событиями в
некоторой системе отсчета, а l12 – расстояние
между точками, в которых происходят рассматриваемые события, в той же
системе отсчета. В частном случае, когда одно из событий происходит в
начале координат
(x1 = y1 = z1 = 0)
системы отсчета в момент времени t1 = 0,
а второе – в точке с координатами x, y, z в момент
времени t, пространственно-временной интервал между этими
событиями записывается в виде
С помощью преобразований Лоренца можно доказать, что
пространственно-временной интервал между двумя событиями не изменяется при
переходе из одной инерциальной системы в другую. Инвариантность интервала
означает, что, несмотря на относительность расстояний и промежутков
времени, протекание физических процессов носит объективный характер и не
зависит от системы отсчета.
Если одно из событий представляет собой вспышку света в начале
координат системы отсчета при t = 0, а второе –
приход светового фронта в точку с координатами
x, y, z в момент времени t
(рис. 7.1.3), то
и, следовательно, интервал для этой пары событий
s = 0. В другой системе отсчета координаты и время
второго события будут другими, но и в этой системе
пространственно-временной интервал s' окажется равным нулю,
так как
Для любых двух событий, связанных между собой световым сигналом,
интервал равен нулю.
Из преобразований Лоренца для координат и времени можно получить
релятивистский закон сложения скоростей. Пусть, например, в системе
отсчета K' вдоль оси x' движется частица со
скоростью  Составляющие скорости частицы u'x и
u'z равны нулю. Скорость этой частицы в системе
K будет равна 
С помощью операции дифференцирования из формул преобразований
Лоренца можно найти:
Эти соотношения выражают релятивистский закон сложения скоростей
для случая, когда частица движется параллельно относительной скорости 
систем отсчета K и K'.
При υ << c релятивистские формулы
переходят в формулы классической механики:
| ux = u'x + υ, uy = 0, uz = 0. |
Если в системе K' вдоль оси x'
распространяется со скоростью u'x = c
световой импульс, то для скорости ux импульса в
системе K получим
Таким образом, в системе отсчета K световой импульс
также распространяется вдоль оси x со скоростью
c, что согласуется с постулатом об инвариантности скорости
света.
|
